2018年9月17日,世界公众科学素质促进大会在北京召开,国家主席习近平向大会致贺信中指出,科学技术是第一生产力,创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据 $\backslash \{x\_i,\; y\_i\backslash \}$ ( $i=1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6$ ),如表

试销单价 $x$ (百元)	1	2	3	4	5	6
产品销量 $y$ (件)	91	86	$p$	78	73	70

(1) 求出 $p$ 的值;

(2) 已知变量 $x$ , $y$ 具有线性相关关系, 求产品销量 $y$ (件) 关于试销单价: $x$ (百元) 的线性回归方程 $\backslash hat\{y\}\; =\; \backslash hat\{b\}x\; +\; \backslash hat\{a\}$ (计算结果精确到整数位);

(3) 用 $\backslash hat\{y\}$ 表示用正确的线性回归方程得到的与 $x$ 对应的产品销的估计值当销售数据 $(x\_i,\; y\_i)$ 的残差的绝对值 时, 则将销售数据称为一个“有效数据”. 现从这 6 组销售数据中任取 2 组, 求抽取的 2 组销售数据都是“有效数据”的概率.

参考公式及数据 $\backslash bar\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; y\_i\; =\; 80$ , $\backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; x\_i\; y\_i\; =\; 1606$ , $\backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; x\_i^2\; =\; 91$ ,

$$\backslash hat\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})(y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; x\_i\; y\_i\; -\; n\; \backslash bar\{x\}\; \backslash bar\{y\}\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; x\_i^2\; -\; n\; \backslash bar\{x\}^2\},\; \backslash quad\; a\; =\; \backslash bar\{y\}\; -\; \backslash hat\{b\}\; \backslash bar\{x\}.$$

【答案】(1) $p=82$ ; (2) $y\; =\; -4x\; +\; 94$ ; (3) $\backslash frac\{2\}\{5\}$

【分析】

(1) 由题意可列方程 $\backslash frac\{1\}\{6\}(91+86+p+78+73+70)=80$ , 解方程即可得解;

(2) 把数据代入公式, 求得 $\backslash hat\{b\}\; \backslash approx\; -4$ , $a=94$ 后即可得解;

(3) 由题意找出有效数据, 把所有的情况列举出来后, 找到符合要求的个数即可得解.

(1) 由 $\backslash bar\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; y\_i\; =\; 80$ , 得 $\backslash frac\{1\}\{6\}(91+86+p+78+73+70)=80$ , 求得 $p=82$ ;

$$(2)\; \backslash hat\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; x\_i\; y\_i\; -\; 6\; \backslash bar\{x\}\; \backslash bar\{y\}\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; x\_i^2\; -\; 6\; \backslash bar\{x\}^2\}\; =\; \backslash frac\{1606\; -\; 6\; \backslash times\; 3.5\; \backslash times\; 80\}\{91\; -\; 6\; \backslash times\; 3.5^2\}\; \backslash approx\; -4,\; \backslash quad\; a\; =\; \backslash bar\{y\}\; -\; \backslash hat\{b\}\; \backslash bar\{x\}\; =\; 80\; +\; 4\; \backslash times\; 3.5\; =\; 94.$$

∴所求的线性回归方程为 $y\; =\; -4x\; +\; 94$ ;

(3) 当 $x\_1=1$ 时, $y\_1=90$ ; 当 $x\_2=2$ 时, $y\_2=86$ ; 当 $x\_3=3$ 时, $y\_3=82$ ; 当 $x\_4=4$ 时, $y\_4=78$ ; 当 $x\_5=5$ 时, $y\_5=74$ ; 当 $x\_6=6$ 时, $y\_6=70$ .

与销售数据对比可知满足 ( $i=1,\; 2,\; \backslash dots,\; 6$ ) 的共有 4 个“有效数据”: (2, 86)、(3, 82)、(8, 78)、(6, 70).

给 6 组销售数据编号, 则从 6 组销售数据中任取 2 组有: (1, 2)、(1, 3)、(1, 4)、

(1, 5)、(1, 6)、(2, 3)、(2, 4)、(2, 5)、(2, 6)、(3, 4)、(3, 5)、(3, 6)、

(4, 5)、(4, 6)、(5, 6) 共 15 种情况, 其中两组都是有效数据的情况有 6 种.

∴抽取的 2 组销售数据都是“有效数据”的概率为 $p\; =\; \backslash frac\{6\}\{15\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}$ .

【经验总结】

基本规律