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第二章 数列

第二章

因为 $a\_n\; =\; a\_1\; q^\{n-1\}$ , 所以上面的公式还可以写成

$$S\_n\; =\; \backslash frac\{a\_1\; -\; a\_n\; q\}\{1\; -\; q\}\; \backslash quad\; (q\; \backslash neq\; 1).$$

有了上述公式, 就可以解决本节开头提出的问题. 由 $a\_1\; =\; 1$ , $q\; =\; 2$ , $n\; =\; 64$ , 可得

$2^\{64\}\; -\; 1$ 这个数很大, 超过了 $1.84\; \backslash times\; 10^\{19\}$ . 假定千粒麦子的质量为 40 g, 那么麦粒的总质量超过了 7 000 亿吨, 因此, 国王不能实现他的诺言.

对于等比数列的相关量 $a\_1$ , $a\_n$ , $q$ , $n$ , $S\_n$ , 已知几个量, 就可以确定其他量?

例 1 求下列等比数列前 8 项的和:

(1) $\backslash frac\{1\}\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{4\},\; \backslash frac\{1\}\{8\},\; \backslash dots$ ;

(2) $a\_1\; =\; 27$ , $a\_9\; =\; \backslash frac\{1\}\{243\}$ , .

解: (1) 因为 $a\_1\; =\; 1$ , $q\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ , 所以当 $n\; =\; 8$ 时,

$$S\_n\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left[\; 1\; -\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)^8\; \backslash right]\}\{1\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{255\}\{256\}.$$

(2) 由 $a\_1\; =\; 27$ , $a\_9\; =\; \backslash frac\{1\}\{243\}$ , 可得

$$\backslash frac\{1\}\{243\}\; =\; 27\; \backslash cdot\; q^8.$$

又由 , 可得

$$q\; =\; -\backslash frac\{1\}\{3\}.$$

于是当 $n\; =\; 8$ 时,

$$S\_8\; =\; \backslash frac\{27\; \backslash left[\; 1\; -\; \backslash left(\; -\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash right)^8\; \backslash right]\}\{1\; -\; \backslash left(\; -\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash right)\}\; =\; \backslash frac\{1640\}\{81\}.$$

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