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14. 已知 $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash left(-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$ , $\backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{7\}\{13\}$ , 则 $\backslash tan\; \backslash alpha\; =$ ________.

15. 已知函数 $f(x)\; =\; |x+2|\; +\; e^\{x+2\}\; +\; e^\{-2-x\}\; +\; a$ 有唯一零点, 则实数 $a\; =$ ________.

16. 如图, 在平面四边形 $ABDC$ 中, $\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$ , $A\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ , $DB\; =\; 2$ , $DC\; =\; 1$ , 则该

四边形面积的最大值为 ________.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:60分.

17. (12分)已知数列 $\backslash \{a\_n\backslash \}$ 的前 $n$ 项和为 $S\_n$ , 且有 $2a\_1\; +\; 2^2\; a\_2\; +\; 2^3\; a\_3\; +\; \backslash cdots\; +\; 2^n\; a\_n\; =\; n\; \backslash cdot\; 2^n$ .

(1)求数列 $\backslash \{a\_n\backslash \}$ 的通项公式;

(2)设 $b\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{a\_n\; a\_\{n+1\}\}$ , $T\_n$ 为数列 $\backslash \{b\_n\backslash \}$ 的前 $n$ 项和, 证明: .

18. (12分)如图,在四棱锥 $P-ABCD$ 中,底面四边形 $ABCD$ 是边长为1的菱形, $\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{3\}$ ,

$PD\; \backslash perp$ 平面 $ABCD$ , $PD\; =\; \backslash sqrt\{3\}$ , $M,\; N$ 分别为棱 $AP,\; CD$ 的中点.

(1)求证: $MN\; \backslash parallel$ 平面 $PBC$ ;

(2)求点 $M$ 到平面 $PBC$ 的距离.

19. (12分)某研究所为了研究某种昆虫的产卵数 $y$ 与温度 $x$ 之间的关系, 现将收集到的温度 $x\_i$ 和一组昆虫的产卵数 $y\_i$ ( $i=1,\; 2,\; \backslash dots,\; 6$ ) 的6组观测数据作了初步处理, 得到如下图的散点图及一些统计数据.

经计算得到以下数据: $\backslash bar\{x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; x\_i\; =\; 26$ , $\backslash bar\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; y\_i\; =\; 33$ , $\backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})(y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})\; =\; 557$ ,

$$\backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2\; =\; 84,\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; (y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})^2\; =\; 3930,\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{6\}\; (y\_i\; -\; \backslash hat\{y\}\_i)^2\; =\; 236.64.$$

(1) 若用线性回归模型来拟合数据的变化关系, 求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $\backslash hat\{y\}\; =\; \backslash hat\{b\}x\; +\; \backslash hat\{a\}$ (结果精确到 0.1);

(2) 若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系, 求得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $\backslash hat\{y\}\; =\; 0.06e^\{0.2303x\}$ , 且相关系数为 $R^2\; =\; 0.9672$ .

① 试与(1)中的回归模型相比, 用 $R^2$ 说明哪种模型的拟合效果更好;

② 用拟合效果好的模型预测温度为 $35^\backslash circ\; \backslash text\{C\}$ 时该组昆虫产卵数(结果四舍五入取整数).

附参考公式: 对于一组具有线性相关关系的数据 $(x\_1,\; y\_1),\; (x\_2,\; y\_2),\; \backslash dots,\; (x\_n,\; y\_n)$ , 其回归直线 $\backslash hat\{y\}\; =\; \backslash hat\{b\}x\; +\; \backslash hat\{a\}$

的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为: $\backslash hat\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})(y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2\}$ , $\backslash hat\{a\}\; =\; \backslash bar\{y\}\; -\; \backslash hat\{b\}\backslash bar\{x\}$ , 相关系数: $R^2\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (y\_i\; -\; \backslash hat\{y\}\_i)^2\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})^2\}$ .

参考数据: $e^\{8.0605\}\; \backslash approx\; 3167$ .

20. (12分)已知椭圆 $C:\; \backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ ( $a\; >\; b\; >\; 0$ ) 的右焦点为 $F$ , 上顶点为 $A$ , 直线 $FA$ 的斜率为 $-\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}$ , 且原点 $O$ 到直线 $FA$ 的距离为 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ .

(1)求椭圆 $C$ 的标准方程;

(2) 设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A\_1,\; A\_2$ , 过点 $D(4,\; 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P,\; Q$ 两点, 直线 $A\_1P,\; A\_2Q$ 相交于点 $E$ , 证明: 点 $E$ 在定直线上.

21. (12分)已知函数 $f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\}\{2\}\; -\; a\; \backslash ln\; x\; -\; a$ ( $a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ ).

(1) 当 $a=1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,\; f(1))$ 处的切线方程;

(2) 若函数 $f(x)$ 有极小值, 求该极小值的取值范围.

(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\backslash rho\; =\; 2\backslash cos\; \backslash theta\; +\; 4\backslash sin\; \backslash theta$ .

(1)求曲线 $C$ 的直角坐标方程;

(2) 若点 $M(0,\; 1)$ , 直线 $l$ 的参数方程为 $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; t\; \backslash cos\; \backslash alpha,\; \backslash \backslash \; y\; =\; 1\; +\; t\; \backslash sin\; \backslash alpha,\; \backslash end\{cases\}$ ( $t$ 为参数), 直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A,\; B$ , 当 $|MA|\; +\; |MB|$ 取最小值时, 求直线 $l$ 的普通方程.

23. [选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数 $f(x)\; =\; |x-a|\; +\; |x+1|$ .

(1) 若 $a\; =\; -2$ , 求不等式 $f(x)\; \backslash le\; 3$ 的解集;

(2) 如果关于 $x$ 的不等式 的解集不是空集, 求实数 $a$ 的取值范围.

二轮复习联考(三) 全国卷1 文科数学试卷 第3页(共4页)

二轮复习联考(三) 全国卷1 文科数学试卷 第4页(共4页)