题型方法

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一、常用统计量的计算

例1 (2019吉林长春,19,7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间的调查,数据如下(单位:小时):

3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.5 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4

整理上面的数据,得到表格如下:

网上学习时间 $x$ (小时)	$0 < x \le 1$	$1 < x \le 2$	$2 < x \le 3$	$3 < x \le 4$
人数	2	5	8	5

样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

统计量	平均数	中位数	众数
数值	2.4	$m$	$n$

根据以上信息,解答下列问题:

上表中的中位数 $m$ 的值为____,众数 $n$ 的值为____;
用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间;
已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.

【解题思路】(1)把20个数据从小到大排列,求出最中间两个数的平均数,即为中位数;出现次数最多的数据即为众数;

(2)由样本数据的平均数乘18即可;

(3)用总人数乘样本中每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可.

解析 (1)2.5;2.5.

(2) $2.4 \times 18 = 43.2$ (小时).

答:估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.

(3) $\frac{13}{20} \times 200 = 130$ (名).

答:每周网上学习时间超过2小时的学生约为130名.

【方法总结】求一组数据的平均数、中位数、众数,要严格按照其定义进行计算,特别注意对加权平均数的权的理解.在求中位数时,一定要先排序,然后再看数据的总个数是奇数还是偶数.一组数据中,平均数和中位数只有一个,而众数可能不止一个.

针对训练1 (2020河南,17,9分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500 g,与之相差大于10 g为不合格.为检验分装效果,工

厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:

【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:

甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505
486
502 503 498 497 491 500 505 502 504
505
乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499
498
502 503 501 490 501 502 511 499 499
501

【整理数据】整理以上数据,得到每袋质量 $x$ (g)的频数分布表.

【分析数据】根据以上数据,得到以下统计量.

根据以上信息,回答下列问题:

(1)表格中的 $a =$ ____, $b =$ ____;

(2)综合上表中的统计量,判断工厂应选购哪一台分装机,并说明理由.

解析 (1)把乙组数据按从小到大的顺序排列为487,490,491,493,498,499,499,499,499,501,501,501,502,502,502,503,505,505,506,511,位于中间的数是第10、11个数,即501,501,则中位数 $=\frac{501+501}{2}=501$ ,故 $a=501$ ;根据已知条件可得出产品合格的范围是 $490 \le x \le 510$ ,所以甲生产的产品有3袋不合格,故不合格率为 $\frac{3}{20} \times 100\% = 15\%$ ,故 $b=15\%$ .(6分)

(2)工厂应选购乙分装机.(7分)

理由如下:比较甲、乙两台机器的统计量可知,甲与乙的平均数相同,中位数相差不大,乙的方差较小,且不合格率更低.以上分析说明,乙机器的分装合格率更高,且稳定性更好.所以,乙机器的分装效果更好,工厂应选购乙机器.(9分)