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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17. (本小题12分) 2022年2月4日北京冬奥会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”。为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第 $x$ 天到该电商平台参与预售的人数 $y$ （单位：万人）的数据如下表：

(1) 依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第 $x$ 天与到该电商平台参与预售的人数 $y$ （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若 ，则线性相关程度一般，若 $|r|\; \backslash ge\; 0.75$ ，则线性相关程度较高，计算 $r$ 时精确度为0.01）

(2) 求参与预售人数 $y$ 与预售的第 $x$ 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）。

参考数据： $\sum \_\{i=1\}^\{5\}\; (y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})^2\; =\; 460$ , $\sum \_\{i=1\}^\{5\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})(y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})\; =\; 66$ , $\backslash sqrt\{46\}\; \backslash approx\; 6.78$

附：相关系数 $r\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})(y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})\}\{\backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})^2\}\}$ , $\backslash hat\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})(y\_i\; -\; \backslash bar\{y\})\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2\}$ , $\backslash hat\{a\}\; =\; \backslash bar\{y\}\; -\; \backslash hat\{b\}\backslash bar\{x\}$

18. (本小题12分) 已知数列 $\backslash \{a\_n\backslash \}$ 满足 $a\_\{n+1\}\; =\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash dots\; +\; a\_n$ , $n\; \backslash in\; N^*$ , $a\_1\; =\; a\_2\; =\; 1$ .

(1) 求数列 $\backslash \{a\_n\backslash \}$ 的通项公式；
(2) 设数列 $\backslash \{a\_n\backslash \}$ 的前 $n$ 项和为 $S\_n$ , $b\_n\; =\; S\_n\; +\; \backslash log\_2\; S\_n$ , 求数列 $\backslash \{b\_n\backslash \}$ 的前 $n$ 项和 $T\_n$ .

19. (本小题12分) 如图1，四边形 $ABCD$ 为矩形，四边形 $ADE\_1F\_1$ 和 $BCE\_2F\_2$ 都是菱形， $AB\; =\; \backslash sqrt\{6\}$ , $BC\; =\; 2$ , $\backslash angle\; DE\_1F\_1\; =\; \backslash angle\; CE\_2F\_2\; =\; 60^\backslash circ$ , 分别沿 $AD$ , $BC$ 将四边形 $ADE\_1F\_1$ 和 $BCE\_2F\_2$ 折起，使点 $E\_1$ , $E\_2$ 重合于点 $E$ , 点 $F\_1$ , $F\_2$ 重合于点 $F$ , 得到如图2所示的几何体。

图1

图2

(1) 证明：平面 $AFED\; \backslash perp$ 平面 $BCEF$ ；
(2) 求图2中几何体 $ABCDEF$ 的体积 $V$ .

20. (本小题12分) 已知函数 $f(x)\; =\; \backslash frac\{mx^2\; +\; 2x\; -\; 2\}\{e^x\}$ ( $m\; >\; 0$ ).

(1) 判断 $f(x)$ 的单调性；
(2) 若对 $\backslash forall\; x\_1,\; x\_2\; \backslash in\; [1,\; 2]$ , 不等式 $|f(x\_1)\; -\; f(x\_2)|\; \backslash le\; \backslash frac\{4\}\{e^2\}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

21. (本小题12分) 已知椭圆 $C:\; \backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ ( $a\; >\; b\; >\; 0$ ) 的离心率为 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$ , 椭圆的中心 $O$ 到直线 $x\; +\; y\; -\; 2b\; =\; 0$ 的距离为 $5\backslash sqrt\{2\}$ .

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；
(2) 设过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 且斜率为 $\backslash sqrt\{2\}$ 的直线 $l$ 和椭圆交于 $A,\; B$ 两点，对于椭圆 $C$ 上任意一点 $Q$ , 若 $\backslash overrightarrow\{OQ\}\; =\; \backslash lambda\; \backslash overrightarrow\{OA\}\; +\; \backslash mu\; \backslash overrightarrow\{OB\}$ ( $\backslash lambda,\; \backslash mu\; \backslash in\; R$ ), 求 $\backslash lambda\backslash mu$ 的最大值.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (本小题10分) 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C\_1$ 的参数方程为 $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; \backslash sqrt\{2\}(t\; -\; t^\{-1\})\; \backslash \backslash \; y\; =\; t\; +\; t^\{-1\}\; \backslash end\{cases\}$ ( $t$ 为参数)。在以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为

极轴的极坐标系中，曲线 $C\_2$ 的极坐标方程为 $\backslash rho\; \backslash sin(\backslash theta\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})\; -\; 2\backslash sqrt\{2\}\; =\; 0$ .

(1) 求曲线 $C\_1$ 和曲线 $C\_2$ 的直角坐标方程；
(2) 设 $M(-2,\; 2)$ , 若曲线 $C\_1$ 与曲线 $C\_2$ 交于 $A,\; B$ 两点，求 $\backslash frac\{1\}\{|MA|\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{|MB|\}$ 的值.

23. (本小题10分) 选修4-5：不等式选讲

已知函数 $f(x)\; =\; |2x\; -\; 4|\; +\; |x\; +\; 1|$ .

(1) 求不等式 $f(x)\; \backslash le\; 6$ 的解集；
(2) 若不等式 $f(x)\; \backslash ge\; 2a^2\; +\; 5a$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

江西省八所重点中学2022届高三联考文科数学试卷 第3页 共4页

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