高三数学试卷参考答案(文科)

B 因为 $A=\{x|-2 \le x \le 3\}$ , $B=\{x|1 < x < 5\}$ , 所以 $A \cap B=\{x|1 < x \le 3\}$ .
D 由题可知 $z_1=2i$ , $z_2=-1+i$ , 则 $z_1 z_2=2i(-1+i)=-2-2i$ , 复数 $z_1 z_2$ 的虚部为 $-2$ .
C 作出不等式组表示的可行域(图略), 由图可知, 可行域的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 4=4$ .
C 因为 $|F_1 F_2|=6$ , 所以当 $0 < ||PF_1| - |PF_2|| < 6$ 时, 动点 $P$ 的轨迹为双曲线.
C 因为在 $x=0$ 处左、右两边的导数值均为负数, 所以 $0$ 不是极值点, 故由图可知 $f(x)$ 只有 $2$ 个极值点.
D 由题意可知 $g(x)=3\cos[2(x+\frac{\pi}{3})]=3\cos(2x+\frac{2\pi}{3})$ , 最小正周期 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$ ; 令 $2x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Z. 得其图象的对称中心为 $(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}, 0) (k \in \mathbb{Z})$ ; 当 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{3} (k \in \mathbb{Z})$ 时, $g(x)$ 取得最大值或最小值.

Diagram of a cube. Vertices are labeled D1, P, C1, Q, B1, A1, D, C, A, B. A cross-section A1BQP is shown, where P is on C1C and Q is on D1C1.

B 如图, 过点 $A_1, B, P$ 的平面截正方体所得的截面为 $A_1BQP$ , 所以侧视图为 B.

A $f(x)$ 是奇函数, 故 $f(-2)=-f(2)=-1$ . 又 $f(x)$ 是增函数, $-1 \le f(x-1) \le 1$ , 所以 $f(-2) \le f(x-1) \le f(2)$ , 则 $-2 \le x-1 \le 2$ , 解得 $-1 \le x \le 3$ .

C 依题意得输出的 $S=(x^2-1)^2-1=0$ , 解得 $x=0$ 或 $x=\pm\sqrt{2}$ , 故输入的实数 $x$ 的取值共有 $3$ 个.

D 由题意得, $\angle A=30^\circ$ , $\angle CBD=45^\circ$ , $\therefore \angle ACB=15^\circ$ , 又 $AB=42$ , 根据正弦定理得 $\frac{42}{\sin 15^\circ}=\frac{BC}{\sin 30^\circ}$ , $BC=\frac{84}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ . $\therefore \angle CBD=45^\circ$ , $\therefore CD=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{42}{\sqrt{3}-1} \approx 57$ (米).

C 因为 $CD \perp$ 平面 $ABC$ , 所以 $CD \perp AC$ , 又 $\triangle ACD$ 是等腰三角形, 所以 $CD=AC$ .

因为 $\triangle ABC$ 是正三角形, 所以 $AB=BC=AC=CD=2\sqrt{3}$ . 设 $E$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心,

则 $CE=2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3}=2$ , $OE=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}$ , 所以 $OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{7}$ ,

故球 $O$ 的体积为 $\frac{4}{3}\pi \times (\sqrt{7})^3=\frac{28\sqrt{7}}{3}\pi$ .

Diagram of a pyramid D-ABC. O is the center of the circumscribed sphere. E is the circumcenter of triangle ABC.

A 以 $A$ 为坐标原点, $AB, AC$ 所在直线分别为 $x, y$ 轴建立平面直角坐标系(图略), 则

$A(0,0), B(3m,0), C(0,2m)$ , $\vec{AM}=\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}-\frac{m\vec{AC}}{|\vec{AC}|}=(1,-m)$ , 所以 $M(1,-m)$ , $\vec{MB}=(3m-1,m)$ , $\vec{MC}=(-1,3m)$ , 则 $\vec{MB} \cdot \vec{MC}=3m^2-3m+1=3(m-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$ .

3 $\log_2 7 \cdot \log_7 8 = \log_2 8 = 3$ .

$\frac{36}{77}$ 因为 $\tan(\alpha+\beta)=4$ , $\tan \beta=2$ , 所以 $\tan \alpha=\tan[(\alpha+\beta)-\beta]=\frac{4-2}{1+4 \times 2}=\frac{2}{9}$ , $\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}=\frac{\frac{4}{9}}{1-\frac{4}{81}}=\frac{36}{77}$ .

72.5 这 100 名同学得分的中位数的估计值为 $70+\frac{0.1}{0.04}=72.5$ .

$-1; 1$ 如图, 由题可知, 圆 $C$ 的圆心坐标为 $(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ , 半径为 $1$ . 设椭圆 $E$ 的左焦点为 $F_1$ , 则 $|PQ|-|PF|=|PQ|+|PF_1|-4=|PC|+|PF_1|-5 \ge |CF_1|-5=-1$ , 当 $F_1$ ,

$P, Q, C$ 四点共线时, 等号成立, 此时直线 $PQ$ 的斜率为 $\frac{2\sqrt{2}-0}{\sqrt{2}-(-\sqrt{2})}=1$ .

Diagram showing an ellipse E centered at the origin O, with foci F1 (left) and F (right) on the x-axis. A circle C is shown in the first quadrant, centered at C. P is a point on the ellipse E. Q is a point on the circle C. The line segment PQ is shown.

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