专题 41 有关圆幂定理型压轴题

【方法点拨】

1. 相交弦定理: 如下左图, 圆 $O$ 的两条弦 $AB$ 、 $PC$ 相交于圆内一点 $P$ , 则 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

2. 切割线定理: 如下右图, $PT$ 为圆 $O$ 的切线, $PAB$ 、 $PCD$ 为割线, 则 $PT^2 = PA \cdot PB$ ( ) ;

3. 割线定理: 如下右图, $PAB$ 、 $PCD$ 为圆 $O$ 的割线, 则 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

说明: 上述三个定理可以统一为 $PA \cdot PB = PO^2 - R^2$ (其中 $R$ 是半径), 统称为圆幂定理.

Diagram illustrating the Power of a Point theorem. The left diagram shows a circle centered at O with two chords AB and CD intersecting at P inside the circle. The right diagram shows a circle centered at O with a point P outside the circle, a tangent PT at T, and two secants PAB and PCD.

【典型题示例】

例 1 如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知点 $A(-1,0)$ , 点 $P$ 是圆 $O: x^2 + y^2 = 4$ 上的任意一点, 过点 $B(1,0)$ 作直线 $BT$ 垂直于 $AP$ , 垂足为 $T$ , 则 $2PA+3PT$ 的最小值是________.

Diagram for Example 1. A circle centered at O (origin) with radius 2. Points A(-1, 0) and B(1, 0) are on the x-axis. P is a point on the circle. T is the foot of the perpendicular from B to the line AP, forming a right angle at T.

【答案】: $6\sqrt{2}$

【分析】从题中已知寻求 $PA$ 、 $PT$ 间的关系是突破口, 也是难点, 思路一是从中线长定理入手, 二是直接使用圆幂定理.

【解法一】由中线长公式可得 $PO = \frac{1}{2}\sqrt{2(PA^2 + PB^2) - AB^2}$ , 则 $PA^2 + PB^2 = 10$

$\cos P = \frac{PA^2 + PB^2 - AB^2}{2PA \cdot PB}, \text{ 则 } \cos P = \frac{3}{PA \cdot PB}$