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这四个点中,只要知道了其中两个点,就可以画出另外两个点。譬如,若知道了 $M\_2,\; M\_3$ 两个点,则只要分别过 $M\_2,\; M\_3$ 画出投影线(平行于相应坐标轴的直线),它们的交点就是 $M$ 点,再过 $M$ 画投影线(平行于 $z$ 轴),它与 $xOy$ 面的交点就是 $M\_1$ 。

根据上述道理,为了画出两个曲面的交线 $\backslash Gamma$ ,就只要先画出 $\backslash Gamma$ 上每个点在某两个坐标面上的投影。

图 3.27

曲线 $\backslash Gamma$ 上的所有点在 $xOy$ 面上的投影组成的曲线称为 $\backslash Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影。显然曲线 $\backslash Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影就是以 $\backslash Gamma$ 为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面与 $xOy$ 面的交线,这个柱面称为 $\backslash Gamma$ 沿 $z$ 轴的投影柱面。类似地可考虑 $\backslash Gamma$ 在 $xOz$ 面、 $yOz$ 面上的投影。

例3.6 求曲线 $\backslash Gamma$ :

$$x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; =\; 4,\; \backslash quad\; (3.36)$$

$$x^2\; +\; y^2\; -\; 2x\; =\; 0\; \backslash quad\; (3.37)$$

在各坐标面上的投影的方程,并且画出曲线 $\backslash Gamma$ 及其在各坐标面上的投影(这条曲线 $\backslash Gamma$ 称为维维安尼曲线)。

解 $\backslash Gamma$ 沿 $z$ 轴的投影柱面的方程应当不含 $z$ ,且 $\backslash Gamma$ 上的点应适合这个方程,显然方程(3.37)就符合要求。但是要注意,一般说来,投影柱面可能只是柱面(3.37)的一部分,这要根据曲线 $\backslash Gamma$ 上的点的坐标有哪些限制来决定。对于本题来说,由方程(3.36)知, $\backslash Gamma$ 上的点应满足

$$|x|\; \backslash le\; 2,\; |y|\; \backslash le\; 2,\; |z|\; \backslash le\; 2;$$

显然满足方程(3.37)的点均满足这些要求,因此整个柱面(3.37)都是 $\backslash Gamma$ 沿 $z$ 轴的投影柱面,从而 $\backslash Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影的方程是

$$\backslash begin\{cases\}\; x^2\; +\; y^2\; -\; 2x\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; z\; =\; 0.\; \backslash end\{cases\}\; \backslash quad\; (3.38)$$

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