【解析】

正四面体 $ABCD$ 中, $AB=\backslash sqrt\{2\}$ , 图中点 $O$ 为外接球的球心, 半径为 $R=OA=OB$ , $O\_1$ 为 $\backslash triangle\; BCD$ 的外心,

所以 $O\_1B=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{3\}\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}$ , 由于 $O\_1B^2+OO\_1^2=OB^2$ ,

又因为 $O\_1A=\backslash sqrt\{(\backslash sqrt\{2\})^2-\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}\backslash right)^2\}=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}$ , 所以 $\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}-R\backslash right)^2=R^2$ , 解得 $R=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ ,

因此外接球的表面积为 $4\backslash pi\backslash times\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash right)^2=3\backslash pi$ , 故 A 正确;

由于 $BE=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{2\}$ , $BO\_1=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}$ , $AO\_1=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}$ , 且 $AB$ 与平面 $BCD$ 所成的角为 $\backslash angle\; ABO\_1$ ,

因此 $\backslash sin\backslash angle\; ABO\_1=\backslash frac\{AO\_1\}\{AB\}=\backslash frac\{\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}\}\{\backslash sqrt\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}$ , 故 B 错误;

因为 $AE\backslash perp\; CD$ 于 $E$ , 所以 $AM\_\{\backslash min\}=AE$ ; $BE\backslash perp\; CD$ 于 $E$ , 所以 $BM\_\{\backslash min\}=BE$ ;

因此当 $M$ 与 $E$ 点重合时, $AM+BM$ 最小, 最小值为 $2\backslash times\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{2\}=\backslash sqrt\{6\}$ , 故 C 正确;

在平面 $ABC$ 中过点 $T$ 作 $PT\backslash perp\; AB$ 交 $AC$ 于 $P$ , 在平面 $ADC$ 中过点 $T$ 作 $RT\backslash perp\; AB$ 交 $AD$ 于 $R$ , 连接 $PR$ ,

又因为 $RT\backslash cap\; PT=T$ , 所以 $AB\backslash perp$ 平面 $TPR$ , 因此平面 $TPR$ 即为所求,

$$TP=TR=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\},\; AD=PR=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\},$$

则 $\backslash triangle\; TPR$ 的周长为 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}+\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}+\backslash frac\{2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{6\}+2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}$ ,

同理在平面 $ABC$ 中过点 $N$ 作 $NQ\backslash perp\; AB$ 交 $BC$ 于 $Q$ , 在平面 $ABD$ 中过点 $N$ 作 $NS\backslash perp\; AB$ 交 $BD$ 于 $S$ , 连接 $QS$ , 可得平面 $NQS$ , 而平面 $NQS$ 即为所求,

$$NQ=NS=\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\},\; BQ=QS=AP=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\},$$

则 $\backslash triangle\; NQS$ 的周长为 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}+\backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}+\backslash frac\{2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{6\}+2\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}$ , 故 D 正确.

故选: $ACD$ .

26. (2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习) 若存在实常数 $k$ 和 $b$ , 使得函数 $F(x)$ 和 $G(x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足: $F(x)\backslash ge\; kx+b$ 和 $G(x)\backslash le\; kx+b$ 恒成立, 则称此直线 $y=kx+b$ 为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的“隔离直线”, 已知函数 $f(x)=x^2(x\backslash in\; R)$ , , $h(x)=2e\backslash ln\; x$ ( $e$ 为自然对数的底数), 则 ( )

A. $m(x)=f(x)-g(x)$ 在 $x\backslash in\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\},0\backslash right)$ 内单调递增
B. $f(x)$ 和 $g(x)$ 间存在“隔离直线”, 且 $k$ 的取值范围是 $[-4,1]$
C. $f(x)$ 和 $g(x)$ 之间存在“隔离直线”, 且 $b$ 的最小值为 $-1$
D. $f(x)$ 和 $h(x)$ 之间存在唯一的“隔离直线” $y=2\backslash sqrt\{e\}x-e$

【答案】AD

【解析】A: 令 $m(x)=f(x)-g(x)=x^2-\backslash frac\{1\}\{x\}$ , $x\backslash in\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\},0\backslash right)$ ,