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15. 如图, 圆 $O$ 与 $x$ 轴的正半轴的交点为 $A$ , 点 $C$ , $B$ 在圆 $O$ 上, 且点 $C$ 位于第一象限, 点 $B$ 的坐标为 $\backslash left(\backslash frac\{12\}\{13\},\; \backslash frac\{5\}\{13\}\backslash right)$ , $\backslash angle\; AOC\; =\; \backslash alpha$ . 若 $|BC|=1$ , 则

$$\backslash sqrt\{3\}\; \backslash cos^2\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; -\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$$ 的值为________.

16. 如图, 一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分, 杯口宽 $4\backslash sqrt\{2\}$ cm, 杯深8cm, 称为抛物线酒杯. ①在杯口放一个表面积为 $36\backslash pi\; \backslash text\{cm\}^2$ 的玻璃球, 则球面上的点到杯底的最小距离为________ cm; ②在杯内放入一个小的玻璃球, 要使球触及酒杯底部, 则玻璃球的半径的取值范围为________(单位: cm).

三、解答题: 共70分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤。第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答。

(一) 必考题: 共60分

17. (12分) 如图, 已知平面四边形 $ABCD$ 中, $AB=CD=1$ .

(1) 若 $AD=\backslash sqrt\{2\}$ , $\backslash angle\; ADB=\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$ , 求 $\backslash triangle\; ABD$ 的面积;

(2) 若 $BC=t$ , $AD=\backslash sqrt\{2\}t$ , $\backslash angle\; C\; -\; \backslash angle\; A\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$ , 求 $t$ 的最大值.

18. (12分) 如图, 在正四棱锥 $P-ABCD$ 中, $PA=AB=2\backslash sqrt\{2\}$ , $E,\; F$ 分别为 $PB,\; PD$ 的中点, 平面 $AEF$ 与棱 $PC$ 的交点为 $G$ .

(1) 求平面 $AEGF$ 与平面 $ABCD$ 所成锐二面角的正切值的大小;

(2) 求 $\backslash frac\{CG\}\{PC\}$ 的值.

19. (12分) 2020年9月22日, 国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话, 指出要加快形成绿色发展方式和生活方式, 建设生态文明和美丽地球。中国将提高国家自主贡献力度, 采取更加有力的政策和措施, 二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值, 努力争取2060年前实现碳中和。某企业为了响应中央号召, 准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳, 从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种, 测量树苗的高度, 得到如下频率分布直方图, 已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表。

(1) 现从120株树苗中, 按售价分层抽样抽取8株, 再从中任选三株, 求售价之和高于16元的概率;
(2) 已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布 $N(\backslash mu,\; \backslash sigma^2)$ , 并用该企业采购的120株树苗作样本, 来估计总体期望和方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表), 且 $s^2=185$ .

①从该育苗基地银杏树树苗中任选5株, 记树苗高度超过150cm的株数为 $\backslash xi$ , 求随机变量 $\backslash xi$ 的分布列和期望.

②若该育苗基地共有5000株银杏树树苗, 并将树苗的高度从高到低进行排列, 请估计第114株树苗的高度。参考数据: 若 $X\; \backslash sim\; N(\backslash mu,\; \backslash sigma^2)$ , , , $\backslash sqrt\{185\}\; \backslash approx\; 13.6$ .

20. 已知 $a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ , 设函数 $f(x)=a\; \backslash ln(x+a)+\backslash ln\; x$ .

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性; (2) 若 $f(x)\; \backslash le\; a^2\; x\; +\; \backslash ln\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; -\; 1$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.

21. (12分) 如图, 已知点 $P(2,2)$ 是焦点为 $F$ 的抛物线 $C:\; y^2\; =\; 2px\; (p\; >\; 0)$ 上一点, $A,\; B$ 是抛物线 $C$ 上异于 $P$ 的两点, 且直线 $PA,\; PB$ 的倾斜角互补, 若直线 $PA$ 的斜率为 $k\; (k\; >\; 1)$ .

(I) 求抛物线方程;

(II) 证明: 直线 $AB$ 的斜率为定值, 并求焦点 $F$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ (用 $k$ 表示);

(III) 在 $\backslash triangle\; ABF$ 中, 记 $\backslash angle\; FAB\; =\; \backslash alpha$ , $\backslash angle\; FBA\; =\; \backslash beta$ , 求 $\backslash sin\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin\; \backslash beta$ 的最大值.

(二) 选考题: 共10分。请在考生第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 那么按所做的第一题计分。
选修4-4: 坐标系与参数方程

22. (10分) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知曲线 $E$ 的参数方程为 $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash cos\; \backslash alpha\; \backslash \backslash \; y\; =\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; 3\; \backslash end\{cases\}$ ( $\backslash alpha$ 为参数), 直线 $l$ 的参数方程为 $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; t\; \backslash cos\; \backslash beta\; \backslash \backslash \; y\; =\; t\; \backslash sin\; \backslash beta\; \backslash end\{cases\}$ ( $t$ 为参数, ). 以坐标原点为极点, $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1) 求曲线 $E$ 和直线 $l$ 的极坐标方程;

(2) 直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $A,\; B$ 两点, 若 $OA\; =\; 2OB$ , 求直线 $l$ 的斜率.

选修4-5: 不等式选讲

23. (10分) 已知函数 $f(x)\; =\; \backslash left|\; x\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right|\; +\; \backslash left|\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right|$ , $M$ 为不等式 的解集.

(1) 求 $M$ ;
(2) 证明: 当 $a,\; b\; \backslash in\; M$ 时, .

高三数学(理科)开学考 第2页 共2页