20220607 项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

$$13.\; x^2\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{3\}\; =\; 1$$

$$14.\; \backslash frac\{7\}\{5\}$$

$$15.\; \backslash frac\{8\}\{15\}$$

$$16.\; 674$$

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 【解析】(1) 因为点A运动的路程为 $\backslash frac\{2\backslash pi\}\{3\}$ ，所以 $\backslash angle\; A\; Ox\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{3\}$ ，………………2分

因为 $r\_1\; =\; 1,\; r\_2\; =\; 2$ ，所以 $\backslash angle\; B\; Ox\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$ ，则 $\backslash angle\; AOB\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$ ，………………4分

由余弦定理知 $AB^2\; =\; OA^2\; +\; OB^2\; -\; 2OA\; \backslash cdot\; OB\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash angle\; AOB$ ，
得 $AB^2\; =\; 1\; +\; 4\; -\; 2\; \backslash times\; 1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; 3$ ，所以 $|AB|\; =\; \backslash sqrt\{3\}$ 。………………6分

(2) 设 $\backslash angle\; B\; Ox\; =\; \backslash theta$ ，则 $\backslash angle\; A\; Ox\; =\; 2\backslash theta$ ，
所以 $A(\backslash cos\; 2\backslash theta,\; \backslash sin\; 2\backslash theta)$ ， $B(2\backslash cos\; \backslash theta,\; 2\backslash sin\; \backslash theta)$ ，………………8分

则 $x\_1\; +\; y\_2\; =\; \backslash cos\; 2\backslash theta\; +\; 2\backslash sin\; \backslash theta\; =\; -2\backslash sin^2\; \backslash theta\; +\; 2\backslash sin\; \backslash theta\; +\; 1\; =\; -2(\backslash sin\; \backslash theta\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\})^2\; +\; \backslash frac\{3\}\{2\}$ ，………………10分

所以当 $\backslash sin\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ 时， $x\_1\; +\; y\_2$ 取得最大值 $\backslash frac\{3\}\{2\}$ 。

18. 【解析】(1) 连接 $BD$ 交 $EC$ 于点 $F$ ，
由题意知， $PD\; \backslash perp$ 平面 $ABCD$ ，所以 $PD\; \backslash perp\; EC$ ，
又因为 $EC\; \backslash perp\; PB$ ， $PD\; \backslash cap\; PE\; =\; P$ ，
所以 $EC\; \backslash perp$ 平面 $PBD$ ，则 $EC\; \backslash perp\; BD$ ，………………2分

因为 $PD\; =\; AB\; =\; 2BC\; =\; 2$ ， $E$ 为斜边 $AB$ 的中点，
所以 $BE\; =\; BC\; =\; 1$ ，则 $\backslash angle\; EBD\; =\; \backslash angle\; CBD$ ，………………4分
因为 $CD\; \backslash parallel\; AB$ ，所以 $\backslash angle\; EBD\; =\; \backslash angle\; CDB$ ，
则 $\backslash angle\; CDB\; =\; \backslash angle\; CBD$ ，所以 $CD\; =\; BC\; =\; 1$ ；………………6分

(2) 连接 $AD$ ，因为 $AB\; =\; 2,\; BC\; =\; 1$ ， $AB$ 为斜边，
所以 $\backslash angle\; ABC\; =\; 60^\backslash circ$ ，因为 $DC\; =\; BC\; =\; 1$ ，
所以 $AD\; =\; 1$ ， $\backslash angle\; DAB\; =\; 60^\backslash circ$ ，取 $AE$ 的中点为 $M$ ，
以 $DM$ 为 $x$ 轴， $DC$ 为 $y$ 轴， $DP$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，

则 $E(\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{2\},\; 0)$ ， $C(0,\; 1,\; 0)$ ， $P(0,\; 0,\; 2)$ ，

则平面 $PDC$ 的法向量为 $\backslash vec\{n\}\_1\; =\; (1,\; 0,\; 0)$ ，………………8分

………………12分

— 高三理科数学（模拟一）答案第1页—