南开大学 2022 年研究生入学考试数学分析试题解答

数学

本试卷共 4 页, 22 题. 全卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟.

注意事项:

1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷由 kmath.cn 自动生成.

得分
阅卷人

一、解答题: 本题共 6 小题, 每小题 5 分, 请考生在 22、23 题中选择一题, 并在答题纸上涂黑, 不涂黑、多涂或多答均按第一题评分.

1. 求定积分 $\backslash int\_\{0\}^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\}\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\; \backslash cos\; x\}\{\backslash sin^4\; x\; +\; \backslash cos^4\; x\; -\; 5\}\; dx$ .

[答案]: 解令 $t\; =\; \backslash sin^2\; x$ , 则 $dt\; =\; 2\; \backslash sin\; x\; \backslash cos\; x\; dx$ , $\backslash sin^4\; x\; +\; \backslash cos^4\; x\; =\; 2t^2\; -\; 2t\; +\; 1$ , 则

$$\backslash text\{原式\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; \backslash frac\{1\}\{2t^2\; -\; 2t\; -\; 4\}\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{t-2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{t+1\}\; \backslash right)\; dt\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{12\}$$

[解析]:

2. 计算二重积分 $\backslash iint\_D\; \backslash sin(\backslash max\backslash \{x^2,\; y^2\backslash \})\; dx\; dy$ , 其中区域 $D\; =\; \backslash \{(x,\; y)\; |\; 0\; \backslash le\; x,\; y\; \backslash le\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash \}$ .

[答案]: 解不妨记 $D\_1\; =\; \backslash \{(x,\; y)\; |\; 0\; \backslash le\; y\; \backslash le\; x\; \backslash le\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash \}$ , 由对称性可知

$$\backslash text\{原式\}\; =\; 2\; \backslash iint\_\{D\_1\}\; \backslash sin\; x^2\; dx\; dy\; =\; 2\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\; \backslash sin\; x^2\; dx\; \backslash int\_\{0\}^\{x\}\; dy\; =\; 2\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\; x\; \backslash sin\; x^2\; dx\; =\; 2$$

[解析]:

3. 求级数 $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n(2n+1)\}$ 的和.

[答案]: 解考虑

$$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n(2n+1)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n\}\; +\; 2\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{2n+1\}.$$

注意到

$$\backslash ln(1+x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n\}\; x^n,\; x\; \backslash in\; (-1,\; 1].$$

设

$$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{2n+1\}\; x^\{2n+1\},\; x\; \backslash in\; [-1,\; 1].$$

由幂级数相关性质可知

$$f\text{'}(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; (-1)^n\; x^\{2n\}\; =\; -\backslash frac\{x^2\}\{1+x^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1+x^2\}\; -\; 1,\; x\; \backslash in\; (-1,\; 1).$$

即 $f(x)\; =\; \backslash arctan\; x\; -\; x$ , 故

$$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n(2n+1)\}\; =\; \backslash ln\; 2\; +\; 2f(1)\; =\; \backslash ln\; 2\; +\; 2\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; -\; 1\backslash right)\; =\; \backslash ln\; 2\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; 2$$

[解析]:

4. 设 $f(x,\; y)\; =\; x^3\; -\; 3x^2y\; -\; y^3\; +\; x^2\; -\; y$ . (1) 证明: 存在 $\backslash delta\; >\; 0$ , 以及定义于 $(-\backslash delta,\; \backslash delta)$ 上的连续可微函数 $y\; =\; y(x)$ , 满足 $y(0)\; =\; 0$ , 以及 $f(x,\; y(x))\; =\; 0$ . (2) 证明: $x\; =\; 0$ 时 (1) 中的 $y(x)$ 取到极小值.

[答案]: 证明 (1) 注意到 $f(0,\; 0)\; =\; 0$ , $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}(0,\; 0)\; =\; -3x^2\; -\; 3y^2\; -\; 1|\_\{(0,0)\}\; =\; -1\; \backslash neq\; 0$ . (2) 在 $x^3\; -\; 3x^2y\; -\; y^3\; +\; x^2\; -\; y\; =\; 0$ 两边同时对 $x$ 求导, 有

$$3x^2\; -\; 6xy\; -\; 3x^2y\text{'}\; -\; 3y^2y\text{'}\; +\; 2x\; -\; y\text{'}\; =\; 0.$$

代入 $x\; =\; 0$ 和 $y(0)\; =\; 0$ , 得到 $y\text{'}(0)\; =\; 0$ . 重复上述操作, 得到

$$6x\; -\; 6y\; -\; 12xy\text{'}\; -\; 3x^2y\text{'}\text{'}\; -\; 6y(y\text{'})^2\; -\; 3y^2y\text{'}\text{'}\; +\; 2\; -\; y\text{'}\text{'}\; =\; 0.$$

代入 $x\; =\; 0$ 和 $y(0)\; =\; y\text{'}(0)\; =\; 0$ , 得到 $y\text{'}\text{'}(0)\; =\; 2\; >\; 0$ . [解析]:

5. 设 $f(x)$ 在 $(-\backslash infty,\; +\backslash infty)$ 上可导且下凸, 证明: 对任意的实数 $x$ , 都有 $f(x\; +\; f\text{'}(x))\; \backslash ge\; f(x)$ .

[答案]: 证明由题意可知对任意实数 $x,\; y$ , 有

$$f(y)\; \backslash ge\; f(x)\; +\; f\text{'}(x)(y\; -\; x),$$

故 $f(x\; +\; f\text{'}(x))\; \backslash ge\; f(x)\; +\; f\text{'}(x)((x\; +\; f\text{'}(x))\; -\; x)\; =\; f(x)\; +\; (f\text{'}(x))^2\; \backslash ge\; f(x)$ [解析]:

6. 设 $x\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \backslash frac\{1\}\{k!\}$ , $n\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots$ , 求极限 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash ln\; x\_n\}\{\backslash sqrt[n]\{e\}\; -\; 1\}\; -\; n\; \backslash right)$ .

[答案]: 解注意到

$$x\_n\; =\; e\; -\; \backslash sum\_\{k=n+1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{k!\}\; \backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\; e\; -\; r\_n,\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; r\_n\; =\; 0.$$

又

$$\backslash sqrt[n]\{e\}\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2n^2\}\; +\; o\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^2\}\backslash right),$$

故

$$\backslash text\{原式\}\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; n\; \backslash left(\; \backslash ln\; x\_n\; -\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash right)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; n\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash frac\{e\; -\; r\_n\}\{e\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2n\}\; \backslash right)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$$

[解析]:

数学试题第 1 页 (共 2 页)

数学试题第 2 页 (共 2 页)