Benchmarks

$$\backslash text\{所以\; \}\; x\_1\; +\; x\_2\; =\; \backslash frac\{8k^2\}\{3+4k^2\},\; \backslash quad\; x\_1x\_2\; =\; \backslash frac\{4k^2-12\}\{3+4k^2\},$$

$$(\backslash text\{法一\})\; |AF\_2|\; =\; \backslash sqrt\{(x\_1-1)^2\; +\; y\_1^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1+k^2\}|x\_1-1|,\; \backslash quad\; |F\_2B|\; =\; \backslash sqrt\{(x\_2-1)^2\; +\; y\_2^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1+k^2\}|x\_2-1|,$$

$$|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|\; =\; (1+k^2)|x\_1x\_2\; -\; (x\_1+x\_2)\; +\; 1|\; =\; (1+k^2)\; \backslash left|\; \backslash frac\{4k^2-12\}\{3+4k^2\}\; -\; \backslash frac\{8k^2\}\{3+4k^2\}\; +\; 1\; \backslash right|\; =\; (1+k^2)\; \backslash left|\; \backslash frac\{9\}\{3+4k^2\}\; \backslash right|\; =\; (1+k^2)\; \backslash frac\{9\}\{3+4k^2\}\; =\; \backslash frac\{9\}\{4\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3+4k^2\}\; \backslash right),$$

当 $k^2=0$ 时, 取最大值为 3, 所以 $|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|$ 的取值范围 $\backslash left[\backslash frac\{9\}\{4\},\; 3\backslash right]$ .

又当 $k$ 不存在, 即 $AB\; \backslash perp\; x$ 轴时, $|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|$ 取值为 $\backslash frac\{9\}\{4\}$ .

所以 $|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|$ 的取值范围 $\backslash left[\backslash frac\{9\}\{4\},\; 3\backslash right]$ .

$$(\backslash text\{法二\})\; |AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|\; =\; \backslash overrightarrow\{AF\_2\}\; \backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{F\_2B\}\; =\; -\backslash overrightarrow\{F\_2A\}\; \backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{F\_2B\}\; =\; -(x\_1-1)(x\_2-1)\; -\; y\_1y\_2$$

$$=\; -(x\_1-1)(x\_2-1)\; -\; k^2(x\_1-1)(x\_2-1)\; =\; -(1+k^2)[x\_1x\_2\; -\; (x\_1+x\_2)\; +\; 1]\; =\; -(1+k^2)\; \backslash left(\; \backslash frac\{4k^2-12\}\{3+4k^2\}\; -\; \backslash frac\{8k^2\}\{3+4k^2\}\; +\; 1\; \backslash right)\; =\; (1+k^2)\; \backslash frac\{9\}\{3+4k^2\}\; =\; \backslash frac\{9\}\{4\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3+4k^2\}\; \backslash right),$$

当 $k^2=0$ 时, 取最大值为 3, 所以 $|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|$ 的取值范围 $\backslash left[\backslash frac\{9\}\{4\},\; 3\backslash right]$ .

又当 $k$ 不存在, 即 $AB\; \backslash perp\; x$ 轴时, $|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|$ 取值为 $\backslash frac\{9\}\{4\}$ .

所以 $|AF\_2|\; \backslash cdot\; |F\_2B|$ 的取值范围 $\backslash left[\backslash frac\{9\}\{4\},\; 3\backslash right]$ .

例26. (2022\cdot \text{全国}\cdot \text{南京外国语学校模拟预测}) \text{已知抛物线 } $C:\; x^2\; =\; 4y$ , $F$ \text{为其焦点, 过 } $F$ \text{的直线 } $l$ \text{与 } $C$ \text{交于不同的两点 } $A$ \text{、} $B$ .

(1) \text{若直线 } $l$ \text{斜率为 3, 求 } $|AB|$ ;

(2) \text{如图, } $C$ \text{在点 } $A$ \text{处的切线与在点 } $B$ \text{处的切线交于点 } $P$ , \text{连接 } $PF$ , \text{证明: } $|PF|^2\; =\; |AF|\; \backslash cdot\; |BF|$ .

【\text{解析}】(1) \text{由抛物线 } $C:\; x^2\; =\; 4y$ , \text{得 } $F(0,\; 1)$ ,

\text{若直线 } $l$ \text{的斜率为 3, 则直线 } $l$ \text{的方程为 } $y\; =\; 3x\; +\; 1$ .

\text{设 } $A(x\_1,\; y\_1)$ , $B(x\_2,\; y\_2)$ ,

$$\backslash text\{由\; \}\; \backslash begin\{cases\}\; y\; =\; 3x\; +\; 1\; \backslash \backslash \; x^2\; =\; 4y\; \backslash end\{cases\}\; \backslash text\{\; 消去\; \}\; y\; \backslash text\{\; 得\; \}\; x^2\; -\; 12x\; -\; 4\; =\; 0,\; \backslash text\{\; 所以\; \}\; \backslash Delta\; >\; 0,\; x\_1\; +\; x\_2\; =\; 12,$$

$$\backslash text\{所以\; \}\; |AB|\; =\; |AF|\; +\; |FB|\; =\; y\_1\; +\; 1\; +\; y\_2\; +\; 1\; =\; 3(x\_1\; +\; x\_2)\; +\; 4\; =\; 40.$$

(2) \text{证明: 由题可知, 直线 } $l$ \text{的斜率存在, 设直线 } $l$ \text{的方程为 } $y\; =\; kx\; +\; 1$ , $A(x\_1,\; y\_1)$ , $B(x\_2,\; y\_2)$ ,

$$\backslash text\{抛物线方程为\; \}\; x^2\; =\; 4y,\; \backslash text\{\; 即\; \}\; y\; =\; \backslash frac\{x^2\}\{4\},\; y\text{'}\; =\; \backslash frac\{x\}\{2\},$$

\text{所以以 } $A$ \text{、} $B$ \text{为切点的切线方程分别为 } $x\_1x\; =\; 2y\; +\; 2y\_1$ , $x\_2x\; =\; 2y\; +\; 2y\_2$ .

$$\backslash text\{由\; \}\; \backslash begin\{cases\}\; y\; =\; kx\; +\; 1\; \backslash \backslash \; x^2\; =\; 4y\; \backslash end\{cases\}\; \backslash text\{\; 消去\; \}\; y\; \backslash text\{\; 得\; \}\; x^2\; -\; 4kx\; -\; 4\; =\; 0,\; \backslash text\{\; 所以\; \}\; \backslash Delta\; >\; 0,\; x\_1\; +\; x\_2\; =\; 4k,\; x\_1x\_2\; =\; -4.$$

\text{这两条切线的斜率分别为 } $k\_1\; =\; \backslash frac\{x\_1\}\{2\}$ , $k\_2\; =\; \backslash frac\{x\_2\}\{2\}$ .

$$\backslash text\{由\; \}\; k\_1k\_2\; =\; \backslash frac\{x\_1x\_2\}\{4\}\; =\; \backslash frac\{-4\}\{4\}\; =\; -1,\; \backslash text\{\; 故\; \}\; PA\; \backslash perp\; BP.$$

$$\backslash text\{设\; \}\; P(x\_0,\; y\_0),\; \backslash text\{\; 则由\; \}\; \backslash begin\{cases\}\; x\_1x\; =\; 2y\; +\; 2y\_1\; \backslash \backslash \; x\_2x\; =\; 2y\; +\; 2y\_2\; \backslash end\{cases\}\; \backslash text\{\; 可得\; \}\; x\_0\; =\; \backslash frac\{2(y\_1\; -\; y\_2)\}\{x\_1\; -\; x\_2\}\; =\; 2k,\; y\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}x\_1x\_0\; -\; y\_1\; =\; kx\_1\; -\; y\_1\; =\; -1,$$

\text{当 } $k=0$ \text{ 时, 则 } $x\_0=0$ , \text{可得 } $AB\; \backslash perp\; PF$ ;

$$\backslash text\{当\; \}\; k\; \backslash neq\; 0\; \backslash text\{\; 时,\; 则\; \}\; x\_0\; \backslash neq\; 0,\; k\_\{AB\}\; =\; \backslash frac\{x\_0\}\{2\},\; k\_\{PF\}\; =\; \backslash frac\{-2\}\{x\_0\},\; \backslash text\{\; 所以\; \}\; k\_\{AB\}\; \backslash cdot\; k\_\{PF\}\; =\; \backslash frac\{-2\}\{x\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{x\_0\}\{2\}\; =\; -1,$$