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定态假设意味着原子是稳定的系统，跃迁假设解释了原子光谱的离散性，最后由氢原子中电子轨道量子化条件，可导出氢原子能级和氢原子的光谱结构。

氢原子的轨道能量即原子能量,为 $E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}mv^2\; -\; k\backslash frac\{e^2\}\{r\}$ ，因圆运动而有 $m\backslash frac\{v^2\}\{r\}\; =\; k\backslash frac\{e^2\}\{r^2\}$ ，由此可得 $E\; =\; -k\backslash frac\{e^2\}\{2r\}$ ，根据轨道量子化条件可得： $v\; =\; n\backslash frac\{h\}\{2\backslash pi\; mr\}$ ， $n=1,2,\backslash dots$ 。因 $r\; =\; k\backslash frac\{e^2\}\{mv^2\}$ ，便有 $r\; =\; \backslash frac\{ke^2\}\{m\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\backslash pi^2\; m^2\; r^2\}\{n^2\; h^2\}$ 得：

量子化轨道半径为： $$r\_n\; =\; \backslash frac\{n^2\; h^2\}\{4\backslash pi^2\; k\; m\; e^2\}$$ ， $n=1,2,\backslash dots$

量子化能量可表述为： $$E\_n\; =\; -\backslash frac\{2\backslash pi^2\; m\; k^2\; e^4\}\{n^2\; h^2\}$$ ， $n=1,2,\backslash dots$

$n=1$ 对应基态，基态轨道半径 $r\_1\; =\; 5.29\; \backslash times\; 10^\{-11\}\; \backslash text\{m\}\; =\; 0.0529\; \backslash text\{\AA \}$ ，也称为玻尔半径，基态能量为 $E\_1\; =\; -13.6\; \backslash text\{eV\}$ 。 $n>1$ 对应激发态，有： $r\_n\; =\; n^2\; r\_1$ ， $E\_n\; =\; \backslash frac\{E\_1\}\{n^2\}$ ， $n=1,2,\backslash dots$ ， $n$ 越大， $r\_n$ 越大， $E\_n$ 也越大，电子离核无穷远时，对应 $E\_\backslash infty\; =\; 0$ ，因此氢原子的电离能为： $E\_\{\backslash text\{电离\}\}\; =\; E\_\backslash infty\; -\; E\_1\; =\; -E\_1\; =\; 13.6\; \backslash text\{eV\}$ 。

电子从高能态 $E\_n$ 跃迁到低能态 $E\_m$ 辐射光子的能量为： $h\backslash nu\; =\; E\_n\; -\; E\_m$ 光子频率为

$$\backslash nu\; =\; \backslash frac\{E\_n\; -\; E\_m\}\{h\}\; =\; \backslash frac\{E\_1\}\{h\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{m^2\}\; \backslash right),\; n>m$$

因此氢原子光谱中离散的谱线波长可表述为

$$\backslash lambda\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{hc\}\{E\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{m^2\}\; \backslash right)^\{-1\},\; n>m$$ $$\backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{E\_1\}\{hc\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{m^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; \backslash right)$$

可以证明 $n$ 很大时电子从 $n$ 第轨道跃迁到第 $n-1$ 轨道所辐射的光波频率，近似等于电子在第 $n$ 轨道上的转动频率，这与经典理论所得结果一致，据此，玻尔认为，经典辐射是量子辐射在 $n\; \backslash to\; \backslash infty$ 时的极限情形。

玻尔理论的局限性：

玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱；从理论上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到了困难，理论推导出来的结论与实验事实出入很大。此外，对谱线的强度、宽度也无能为力；也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个固体的。玻尔理论还存在逻辑上的缺点，他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又给予它们量子化的观念，失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世纪 20 年代，薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了轨道概念，而代之以几率和电子云概念。

四、原子核模型

原子核所带电荷为 $+Ze$ ， $Z$ 是整数，叫做原子序数。原子核是由质子和中子组成，两者均称为核子，核子数记为 $A$ ，质子数记为 $Z$ ，中子数便为 $A-Z$ 。原子的元素符号记为 $X$ ，原子核可表述为 $\{\}\_Z^A\; X$ ，元素的化学性质由质子数 $Z$ 决定， $Z$ 相同 $N$ 不同的称为同位素。

除氢核外，原子核 $\{\}\_Z^A\; X$ 中 $Z$ 个质子与 $(A-Z)$ 个中子静质量之和都大于原子核的静质量 $M\_X$ ，其间之差： $\backslash Delta\; M\; =\; [Zm\_p\; +\; (A-Z)m\_n]\; -\; M\_X$ ，称为原子核的质量亏损。造成质量亏损的原因是核子相互吸引结合成原子核时具有负的能量，这类似于电子与原子核相互吸引力结合成原子时具有负的能量（例如氢原子处于基态时电子轨道能量为 $-13.6\; \backslash text\{eV\}$ ）同样类似于万有引力作用于天体。据相对论质能关系，负能量对应质量

高二·物理竞赛·第14讲·学生版

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