OCR Output Comparison | Datalab (Chandra & Surya)

Page 1 of 1

Render HTML

设 $u(x) = \ln(x+1) - x$ , 则 $u'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{-x}{x+1}$ ,

所以当 $-1 < x < 0$ 时, $u'(x) > 0$ ; 当 $x > 0$ 时, $u'(x) < 0$ ,

所以 $u(x)$ 在 $(-1, 0)$ 上为增函数, 在 $(0, +\infty)$ 上为减函数,

故 $u(x)_{\max} = u(0) = 0$ , 所以 $\ln(x+1) \le x$ 成立.

由上还不等式可得, 当 $t > 1$ 时, $\ln\left(1+\frac{1}{t}\right) \le \frac{1}{t} < \frac{2}{t+1}$ , 故 $S'(t) < 0$ 恒成立,

故 $S(t)$ 在 $(1, +\infty)$ 上为减函数, 则 $S(t) < S(1) = 0$ ,

所以 $(t-1)\ln(t+1) - t\ln t < 0$ 成立, 即 $x_1 + x_2 < e$ 成立.

综上所述, $\ln(a+b) < \ln(ab) + 1$ .

核心考点五: 极最值问题

【规律方法】

利用导数求函数的极最值问题. 解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间, 从而求得极最值. 只是对含有参数的极最值问题, 需要对导函数进行二次讨论, 对导函数或其中部分函数再一次求导, 确定单调性, 零点的存在性及唯一性等, 由于零点的存在性与参数有关, 因此对函数的极最值又需引入新函数, 对新函数再用导数进行求值、证明等操作.

【典型例题】

例 14. (2023 春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习) 已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax + a, a \in \mathbb{R}$ .

(1) 当 $a = -1$ 时, 求 $f(x)$ 在 $[-2, 2]$ 上的最值;

(2) 讨论 $f(x)$ 的极值点的个数.

【解析】(1) 当 $a = -1$ 时, $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x - 1$ , $x \in [-2, 2]$

$f'(x) = x^2 + 1 > 0$ , 故 $f(x)$ 在 $[-2, 2]$ 上单调递增,

$\therefore f(x)_{\min} = f(-2) = -\frac{17}{3}$ , $\therefore f(x)_{\max} = f(2) = \frac{11}{3}$ .

(2) $f'(x) = x^2 - a$ ,

① 当 $a \le 0$ 时, $f'(x) \ge 0$ 恒成立, 此时 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增, 不存在极值点.

② 当 $a > 0$ 时, 令 $f'(x) > 0$ , 即 $x^2 - a > 0$ , 解得: $x < -\sqrt{a}$ 或 $x > \sqrt{a}$ ,

令 $f'(x) < 0$ , 即 $x^2 - a < 0$ , 解得 $x \in (-\sqrt{a}, \sqrt{a})$

故此时 $f(x)$ 在 $(-\infty, -\sqrt{a})$ 递增, 在 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$ 递减, 在 $(\sqrt{a}, +\infty)$ 递增,

所以 $f(x)$ 在 $x = -\sqrt{a}$ 时取得极大值, 在 $x = \sqrt{a}$ 时取得极小值, 故此时极值点个数为 2,

综上所述: $a \le 0$ 时, $f(x)$ 无极值点,

32 / 75