数学

本试卷共 4 页, 22 题. 全卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟.

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在本试卷上无效.
考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
本试卷由 kmath.cn 自动生成.

得分
阅卷人

一、单选题: 本题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 设 $f(x) = \begin{vmatrix} 2x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2x \end{vmatrix}$ 中, 则 $x^3$ 的系数是

A. -2 B. 2 C. 4 D. -4

[答案]:A [解析]: 解析: $x$ 的关联项是 $a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}$ , 前面需要有一个 $(-1)^t$ 他的逆序数是 $t(2143) = 1$ 所以, -2

2. 在下列 5 阶行列式中, 符号为正的项是

A. $a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}a_{55}$ B. $a_{15}a_{31}a_{22}a_{44}a_{53}$ C. $a_{23}a_{32}a_{41}a_{15}a_{54}$ D. $a_{31}a_{25}a_{43}a_{14}a_{52}$

[答案]:B [解析]:

3. 已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 则 $|A^*| =$

A. $-\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{4}$ C. 2 D. 4

[答案]:D [解析]: 先记住一个结论 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 其中 $n$ 为行列式的阶数. 所以, $|A^*| = |A|^2=4$

4. 设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ , 则 $|AB| =$

A. 0 B. 4 C. 6 D. 8

[答案]:A [解析]: 本题, 很多同学容易想到 $|AB| = |A| \cdot |B|$ 但是, 他的前提是 $A, B$ 都是方阵, 所以本题不能直接使用这个公式. 计算可得

$AB = \begin{pmatrix} -5 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \\ -4 & 1 & 1 \end{pmatrix}_{3 \times 3} \quad |AB| = \begin{vmatrix} -5 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

然后利用初等变换可以得到结果是 0

5. 已知 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 且 $AB = 0$ , 则必有

A. $A = 0$ 或 $B = 0$ B. $|A| = |B| = 0$ C. $A = B = 0$ D. $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$

[答案]:D [解析]: 本题考查的基本概念, 例如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 但是 $A, B$ 都不是零.

由 $AB = 0$ 同时取行列式 $|A| \cdot |B| = 0$ 所以, 选 D

6. 可量组 $a_1 = (1, 1, 1, 1)^T$ , $a_2 = (1, 2, 3, 4)^T$ , $a_3 = (0, 1, 2, 3)^T$ 的秩为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[答案]:B [解析]: 根据三秩相等定理: 列向量组的秩等于列向量组所构成的秩, 等于矩阵行向量组的秩.

$R(a_1, a_2, a_3) = R(A)$ 而

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

对 $A$ 进行初等变换求秩

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

可见秩为 2

7. 设 $A$ 是 3 阶矩阵, 且 $|A| = -2$ 则 $\left| \left( \frac{1}{12}A \right)^{-1} + (3A)^* \right| =$

A. -108 B. 108 C. 54 D. -54

[答案]:B [解析]: 对于矩阵有一个性质, 如果 $A$ 可逆, 那么 $(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} \cdot A^{-1}$ 所以, $\left( \frac{1}{12}A \right)^{-1} = 12A^{-1}$

而对于伴随矩阵的性质有 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot A^*$

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