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解法4: $F(x)\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{f(x)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin(2x\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})\}\{\backslash sin(2x\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})\}$ , 定义域为 $\backslash left\backslash \{x\; |\; x\; \backslash neq\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{2\},\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash right\backslash \}$

$\backslash therefore\; F(x)$ 的单调递减区间为 $(-\backslash frac\{3\backslash pi\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{2\})$ , $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ , 无递增区间.

评分标准:

(1) $g(x)$ 表达式正确2分,

(2) 有化简结果正确2分: $-\backslash tan(2x\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})$ , $\backslash frac\{1\}\{\backslash tan(2x\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})\}$ , $1\; +\; \backslash frac\{2\}\{\backslash tan\; 2x\; -\; 1\}$ ,

(3) 单调区间正确1分。

注: 1.有正确的体积公式, h没算对, 这2分也给!

2.没有写出以上的任何一个踩分点, 去证明 $A\_1E$ 垂直与平面 $ABCD$ 的, 给2分

18. (本小题满分12分)

(1) 如图, 取AB中点O, 连接 $OA\_1,\; OB\_1$ .

$\backslash therefore\; AA\_1\; =\; AB\_1\; =\; B\_1B\; =\; 1,\; AB\; =\; 2$

$\backslash therefore\; OA\; =\; OB\; =\; AA\_1\; =\; AB\_1\; =\; 1$

$\backslash therefore$ 即 $B\_1O\; \backslash parallel\; AA\_1$ , 四边形 $AA\_1B\_1O$ 为平行四边形

$\backslash therefore\; AA\_1\; =\; A\_1O\; =\; AO$ , 即 $\backslash triangle\; AA\_1O$ 为等边三角形

$$V\_\{ABCD\; -\; A\_1B\_1C\_1D\_1\}\; =\; \backslash frac\{7\backslash sqrt\{3\}\}\{16\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash left(\; S\_1\; +\; S\_2\; +\; \backslash sqrt\{S\_1\; S\_2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; h$$

$$S\_\{\backslash text\{下\}\}\; =\; (1+2)\; \backslash times\; 1\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$$

有体积公式, 给2分

18.解: (1) 连接 $AD\_1$ , 因为 $AE\; \backslash parallel\; D\_1C$ , 所以 $A,\; E,\; C\_1,\; D\_1$ 四点共面,

因为 $C\_1E\; \backslash parallel$ 平面 $ADD\_1A\_1$ , $AD\_1$ 是过 $C\_1E$ 的平面 $AEC\_1D\_1$ 与平面 $ADD\_1A\_1$ 的交线

由线面平行的性质定理, 知 $AD\_1\; \backslash parallel\; C\_1E$

所以四边形 $AEC\_1D\_1$ 为平行四边形 2分

所以 $AE\; =\; D\_1C\_1\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; DC\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$

又 $AA\_1\; =\; 1$ ,

易得 $\backslash angle\; A\_1AE\; =\; 60^\backslash circ$ , 又 $AA\_1\; =\; 1$ ,

所以 $A\_1E\; =\; \backslash sqrt\{AA\_1^2\; +\; AE^2\; -\; 2AA\_1\; \backslash cdot\; AE\; \backslash cdot\; \backslash cos\; 60^\backslash circ\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ 2分, 同时可得 $A\_1E\; \backslash perp\; AB$ .

上下底面积分别为 $S\_1,\; S\_2$ , 易求得 $S\_1\; =\; \backslash frac\{3\}\{4\},\; S\_2\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$

所以 $V\; =\; \backslash frac\{7\backslash sqrt\{3\}\}\{16\}\; =\; \backslash frac\{h\}\{3\}\; (S\_1\; +\; \backslash sqrt\{S\_1\; S\_2\}\; +\; S\_2)\; =\; \backslash frac\{h\}\{3\}\; (\backslash frac\{3\}\{4\}\; +\; \backslash frac\{3\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{3\}\{2\})\; =\; \backslash frac\{7h\}\{8\}$ , 从而有 $h\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ 2分

所以 $h\; =\; A\_1E$

(2) 解法1: 由 (1) 知平面 $AA\_1B\_1B\; \backslash perp$ 平面 $ABCD$

又 $BC\; \backslash perp\; AB$ , 所以 $BC\; \backslash perp$ 平面 $AA\_1B\_1B$

所以平面 $BCC\_1B\_1\; \backslash perp$ 平面 $AA\_1B\_1B$ 2分

过E作 $EH\; \backslash perp\; BB\_1$ 于H, 则 $EH\; \backslash perp$ 平面 $BCC\_1B\_1$

从而 $\backslash angle\; EC\_1H$ 为直线 $C\_1E$ 与平面 $BCC\_1B\_1$ 所成角 2分

$$EH\; =\; BE\; \backslash sin\; 60^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}$$

$$C\_1E^2\; =\; C\_1B\_1^2\; +\; B\_1E^2\; =\; C\_1B\_1^2\; +\; BE^2\; +\; BB\_1^2\; -\; 2\; \backslash cdot\; BB\_1\; \backslash cdot\; BE\; \backslash cdot\; \backslash cos\; 60^\backslash circ\; =\; 2,\; \backslash text\{\; 即\; \}\; C\_1E\; =\; \backslash sqrt\{2\}$$

$$\backslash text\{所以\; \}\; \backslash sin\; \backslash angle\; EC\_1H\; =\; \backslash frac\{EH\}\{C\_1E\}\; =\; \backslash frac\{3\backslash sqrt\{6\}\}\{8\}.\; \backslash quad\; 2\backslash text\{分\}$$